Question

3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l与该椭圆交于M，N两点，MN的中点为A（2，-1），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求出a，c，然后求解b，可得椭圆方程；
（2）写出直线方程，联立方程组消掉y得到x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求得直线的斜率，然后求解直线方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由长轴长为4$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
得a=2$\sqrt{2}$，解得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{5}$，
所以椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由直线l与该椭圆交于M，N两点，MN的中点为A（2，-1），
设直线l：y+1=k（x-2），即y=kx-2k-1．
$\left\{\begin{array}{l}y=kx-2k-1\\ \frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{5}=1\end{array}\right.$得（5+8k²）x²-（32k²+16k）x+8（2k+1）²-40=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}+16k}{5+8{k}^{2}}=4$，
解得k=$\frac{5}{4}$，
直线l的方程：y=$\frac{5}{4}$x-2×$\frac{5}{4}$-1，即5x-4y-14=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，弦长公式及韦达定理是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握．