Question

17．设函数f（x）=1-|2x-3|，g（x）=$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-a}$．
（1）求不等式f（x）≥3x+1的解集；
（2）若0＜a＜b，M=g（a+b），N=g（b），求证：M＜N．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解不等式，从而求出不等式的解集；（2）分别表示出M，N，结合a，b的范围通过比较分母从而比较出M、N的大小．

解答 解：（1）∵f（x）=1-|2x-3|，
∴1-|2x-3|≥3x+1，即|2x-3|≤-3x，
①x≤$\frac{3}{2}$时，-（2x-3）≤-3x，解得：x≤-3；
②x＞$\frac{3}{2}$时，（2x-3）≤-3x，解得：x＜$\frac{3}{5}$，舍，
故不等式f（x）≥3x+1的解集是：{x|x≤-3}；
（2）M=g（a+b）=$\sqrt{a+b}$-$\sqrt{b}$=$\frac{a}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b}}$，
N=g（b）=$\sqrt{b}$-$\sqrt{b-a}$=$\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{b-a}}$，
比较分母，易得：$\sqrt{a+b}$＞$\sqrt{b-a}$，
∴M＜N．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查比较大小的方法，本题属于中档题．