Question

8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC=1．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC即可在证明平面PAC⊥平面PBC；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角A-PB-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面ABC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）以C为坐标原点，CA，CB为x，y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间坐标系如图，
∵∠BAC=60°，PA=AC=1．
∴BC=$\sqrt{3}$，
则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（1，0，1），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{PB}$=（-1，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
设平面APB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=-x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则x=$\sqrt{3}$，z=0，即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-x+\sqrt{3}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令z=1，则x=-1，y=0，即$\overrightarrow{n}$=（-1，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
由图象可知二面角A-PB-C为锐二面角，则A-PB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．