Question

18．设函数y=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）在闭区间[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$+2x），再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在闭区间[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

解答 解：（1）∵函数y=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1=$\sqrt{3}$cos2x+cos（$\frac{π}{2}$-2x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（$\frac{π}{3}$+2x），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（3）在闭区间[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，函数y取得最小值为2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$；
故当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数y取得最大值为2×1=2．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．