Question

13．已知f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的周期及最值；
（2）在△ABC中，c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，易得周期和最值；
（2）由（1）易得C=$\frac{π}{3}$，再由向量平行和正弦定理可得b=2a，代入余弦定理可得a值，进而可得b值．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最大值为0，最小值为-2；
（2）在△ABC中，c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1，结合C为三角形内角可得C=$\frac{π}{3}$，
又∵$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，
∴sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
代入数据可得3=a²+4a²-4a²×$\frac{1}{2}$，
解得a=1，可得b=2

点评 本题考查平面向量的平行关系，涉及解三角形，属基础题．