Question

5．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=2，a₃=3，数列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差为2的等差数列，则S₂₃=209．

Answer 1

分析 由题意可判数列隔2项取出的数构成2为公差的等差数列，由等差数列的求和公式可得．

解答 解：∵数列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差为2的等差数列，
∴a_n+3-a_n=a_n+1+a_n+2+a_n+3-（a_n+a_n+1+a_n+2）=2，
∴数列隔2项取出的数构成2为公差的等差数列，
∵a₁=1，a₂=2，a₃=3，
∴S₂₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₃=（a₁+a₄+a₇+…+a₂₂）+（a₂+a₅+a₈+…+a₂₃）+（a₃+a₆+a₉+…+a₂₁）
=（8×1+$\frac{8×7}{2}×2$）+（8×2+$\frac{8×7}{2}$×2）+（7×3+$\frac{7×6}{2}$×2）
=209．
故答案为：209．

点评 本题考查等差数列的求和公式，得出数列隔2项取出的数构成2为公差的等差数列是解决问题的关键，属中档题．