Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，M为AB的中点，△PAD为等边
三角形，且平面PAD丄平面ABCD．
（I）证明：PM丄BC；
（Ⅱ）求二面角D-BC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取AD中点为O，连结PO、OM、DM，通过计算可得△ADM是正三角形，利用线面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以射线OA方向、OM方向、OP方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面DBC的法向量与平面PBC的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （I）证明：取AD中点为O，连结PO、OM、DM，
由已知得PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC，
∵∠DAB=90°，AB=2AD，
∴△ADM是正三角形，
∴OM⊥AD，∴OM⊥BC，∴BC⊥平面POM，∴PM丄BC；
（Ⅱ）解：以O为坐标原点，分别以射线OA方向、OM方向、OP方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
设AD=2，则OP=$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{3}$，则P（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，2$\sqrt{3}$，0），C（-3，2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（-1，2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
∴平面DBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+2\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角D-BC-P的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，线线垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．