Question

2．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（0，-1），且离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）是否存在菱形ABCD，同时满足下列三个条件：
①点A在直线y=2上；
②点B，C，D在椭圆M上；
③直线BD的斜率等于1．
如果存在，求出A点坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量，即可求解椭圆的方程．
（Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD，利用反证法，假设存在满足题意的菱形ABCD．设直线BD的方程为y=x+m，B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段BD的中点Q（x₀，y₀），点A（t，2），直线与椭圆联立方程组，利用判别式求出m的范围，通过韦达定理结合已知条件推出矛盾，得到结论．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\{a^2}-{b^2}={c^2}.\end{array}\right.$…（3分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=3\\{b^2}=1.\end{array}\right.$
所以 椭圆M的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD，理由如下：…（5分）
假设存在满足题意的菱形ABCD．
设直线BD的方程为y=x+m，B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段BD的中点Q（x₀，y₀），点A（t，2）．…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=3\\ y=x+m\end{array}\right.$得4y²-2my+m²-3=0．…（8分）
由△=（2m）²-16（m²-3）＞0，解得-2＜m＜2．…（9分）
因为 ${y_1}+{y_2}=\frac{m}{2}$，
所以 ${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{4}$．…（11分）
因为 四边形ABCD为菱形，
所以 Q是AC的中点．
所以 C点的纵坐标${y_C}=2{y_0}-2=\frac{m}{2}-2＜-1$．…（12分）
因为 点C在椭圆M上，
所以 y_C≥-1．这与y_C＜-1矛盾．…（13分）
所以 不存在满足题意的菱形ABCD．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，反证法的证明方法，考查逻辑推理能力以及计算能力．