Question

12．某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为$\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}$．
（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；
（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．记事件至少有一次实验成功为D，则P（D）=1-$P（\overline{A}\overline{B}\overline{C}）$=1-$P（\overline{A}）P（\overline{B}）P（\overline{C}）$，即可得出．
（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．则P（X=0）包括实验A第一次不成功或第一次成功而第二次不成功，P（X=10000）包括实验A两次成功，而B第一次不成功或第一次成功而第二次不成功，（X=30000）包括实验A，B的各两次实验都成功，而实验C的三次都不成功或三次实验中只有一次成功，P（X=60000）包括实验A，B的各两次实验都成功，而实验C的三次中都成功或三次中有两次成功，进而得出X分布列与数学期望．

解答 解：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．
记事件至少有一次实验成功为D，
则P（D）=1-$P（\overline{A}\overline{B}\overline{C}）$=1-$P（\overline{A}）P（\overline{B}）P（\overline{C}）$=1-$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{59}{60}$．
（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．
则P（X=0）=$（1-\frac{4}{5}）$+$\frac{4}{5}×（1-\frac{1}{5}）$=$\frac{9}{25}$，P（X=10000）=$（\frac{4}{5}）^{2}$×$（\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}）$=$\frac{7}{25}$，
P（X=30000）=$（\frac{4}{5}）^{2}×（\frac{3}{4}）^{2}×[（\frac{1}{3}）^{3}+{∁}_{3}^{1}×（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{2}{3}]$=$\frac{7}{75}$，P（X=60000）=$（\frac{4}{5}）^{2}×（\frac{3}{4}）^{2}$×$[（\frac{2}{3}）^{3}+{∁}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}]$=$\frac{4}{15}$，
X分布列为：

X	0	10000	30000	60000
P（X）	$\frac{9}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{7}{75}$	$\frac{4}{15}$

X的数学期望E（X）=$0×\frac{9}{25}$+$10000×\frac{7}{25}$+$30000×\frac{7}{75}$+$60000×\frac{4}{15}$=21600元．

点评 本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、相互独立事件的概率、相互对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．