Question

17．如图，已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=A₁A=$\frac{1}{2}$AB=2，点E是棱AB上一点，且$\frac{AE}{EB}$=λ．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求CE与平面D₁ED所成的角．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明：D₁E⊥A₁D；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求出线面所成的角的大小．

解答 （1）证明：建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），A₁（2，0，2），B₁（2，4，2），
C₁（0，4，2），D₁（0，0，2）．
因为$\frac{AE}{EB}$=λ，所以E（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，0），
于是$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，-2）．$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，-2），
则$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，-2）•（-2，0，-2）=0，
即$\overrightarrow{{D}_{1}E}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，
则D₁E⊥A₁D．                                               
（2）解：因为D₁D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，2）．
又$\overrightarrow{CE}$=（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，-2），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-4，2），
设平面D₁CE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{{n}_{2}}$•$\overrightarrow{CE}$=2x+y（$\frac{4λ}{1+λ}$-4）=0，
$\overrightarrow{{n}_{2}}$•$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=-4y+2z=0，
所以向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$的一个解为（2-$\frac{2λ}{1+λ}$，1，2）．
因为二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，较大λ=1，
即E（2，2，0），
故$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，2，0），$\overrightarrow{CE}$=（2，-2，0），
则$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=0，$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
即CE⊥平面D₁ED，
即CE与平面D₁ED所成的角为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查线线垂直，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，建立坐标系是解决本题的关键．