Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2．
（Ⅰ）求三棱锥P-ACD的外接球的体积；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A与二面角A-PC-D的正弦值之比．

Answer 1

分析 （I）连接AC，通过已知条件及勾股定理可得AC⊥CD，进而可得三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E，利用球的体积公式计算即可；
（II）以点A为坐标原点，$\overrightarrow{AB}，\;\;\overrightarrow{AD}，\;\overrightarrow{AP}$分别为x、y、z轴正方向建立坐标系，二面角B-PC-A的余弦值即为平面PBC的法向量与平面PAC的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，通过CD⊥平面PAC可得二面角A-PC-D为直二面角，计算即可．

解答 解：（I）连接AC，
∵∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2，
∴CD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，∴AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∴CD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴∠PCD=90°，
而∠PAD=90°，从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E，
∵直径$PD=\sqrt{{1^2}+{2^2}}=\sqrt{5}$，
∴三棱锥P-ACD外接球的体积$V=\frac{4}{3}$$π{（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）^3}=\frac{5}{6}\sqrt{5}π$；
（II）建立坐标系，以点A为坐标原点，$\overrightarrow{AB}，\;\;\overrightarrow{AD}，\;\overrightarrow{AP}$分别为x、y、z轴正方向，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BC}=（{0，\;\;1，\;\;0}），\;\;\overrightarrow{PB}=（{1，\;\;0，\;\;-1}）$．
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x-z=0\end{array}\right.$，
∴可取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
由（I）知CD⊥平面PAC，
故平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
所以$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}＞$=$\frac{（1，0，1）•（-1，1，0）}{\sqrt{1+1}•\sqrt{1+1}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴二面角B-PC-A的大小为$\frac{π}{3}$，其正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由CD⊥平面PAC，得平面PCD⊥平面PAC，
∴二面角A-PC-D为直二面角，其正弦值为1，
综上，二面角B-PC-A与二面角A-PC-D的正弦值之比为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，勾股定理，球的体积的计算，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．