Question

19．设函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+（{m^2}-1）$x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=$\frac{3}{2}$，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（2）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得f（x）在[-2，2]的极值点，再由f（x）在端点处的函数值和极值，加以比较，即可得到最大值；
（2）化简f（x）为因式的乘积，运用二次方程根与系数的关系，结合不等式恒成立思想，即可得到m的取值范围．

解答 解：（1）当m=$\frac{3}{2}$，f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+$\frac{5}{4}$x，
导数f′（x）=-x²+2x+$\frac{5}{4}$，
f′（x）=0在[-2，2]上的解为x=-$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}$舍去），
由f（-2）=$\frac{8}{3}$+4-$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{6}$，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{5}{8}$=-$\frac{1}{3}$，f（2）=-$\frac{8}{3}$+4+$\frac{5}{2}$=$\frac{23}{6}$．
则函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为$\frac{25}{6}$；
（2）由题设，f（x）=x（-$\frac{1}{3}$x²+x+m²-1）
=-$\frac{1}{3}$x（x-x₁）（x-x₂），
∴方程-$\frac{1}{3}$x²+x+m²-1=0有两个相异的实根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+$\frac{4}{3}$（m²-1）＞0，
∵m＞0，解得m＞$\frac{1}{2}$，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞$\frac{3}{2}$＞1．
①当x₁≤1＜x₂时，f（1）=-$\frac{1}{3}$（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不符合题意，
②当1＜x₁＜x₂时，对任意的x∈[x₁，x₂]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则f（x）=-$\frac{1}{3}$x（x-x₁）（x-x₂）≥0，
又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件
是f（1）=m²-$\frac{1}{3}$＜0，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵m＞$\frac{1}{2}$，
即有m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查了导数的运用：求最值和不等式恒成立问题，运用函数的单调性及函数和方程转化思想是解题的关键．