Question

11．根据十八大的精神，全国在逐步推进教育教学制度改革，各高校自主招生在高考录取中所占的比例正在逐渐加大．对此，某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲正确完成每道题的概率为$\frac{2}{3}$，且每道题正确完成与否互不影响；考生乙能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．（Ⅰ）求考生甲至少正确完成2道题的概率；
（Ⅱ）求考生乙能通过笔试进入面试的概率；
（Ⅲ）记所抽取的三道题中考生乙能正确完成的题数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用独立重复试验的概率公式，求考生甲至少正确完成2道题的概率；
（Ⅱ）确定基本事件数，即可求出考生乙能通过笔试进入面试的概率；
（Ⅲ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设考生甲至少正确完成2道题的概率为P，则P=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{20}{27}$；
（Ⅱ）基本事件总数为${C}_{6}^{3}$=20，考生乙能通过笔试进入面试的基本事件数为${C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$=16，
所以考生甲至少正确完成2道题的概率为$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$；
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为1，2，3，则
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Eξ=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，是历年高考的必考题型．