Question

1．设g（x）=x-1，已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2g（{x}^{2}）-g（x-1），g（2x）≤g（x）}\\{g（x）-g（{x}^{2}），g（2x）＞g（x）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实根x₁，x₂，x₃，则x₁²+x₂²+x₃²的取值范围是（$\frac{6-\sqrt{3}}{8}$，1）．

Answer 1

分析 化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-x，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，从而作出其图象，结合图象可得0＜m＜$\frac{1}{4}$，从而分别讨论x₁，x₂，x₃，再令y=x₁²+x₂²+x₃²=$\frac{1-2\sqrt{1+8m}+1+8m}{16}$+1-2m，化简并利用换元法求取值范围即可．

解答 解：∵g（x）=x-1，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2g（{x}^{2}）-g（x-1），g（2x）≤g（x）}\\{g（x）-g（{x}^{2}），g（2x）＞g（x）}\end{array}\right.$，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2-（x-2），2x-1≤x-1}\\{x-1-（{x}^{2}-1），2x-1＞x-1}\end{array}\right.$；
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-x，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$；
作出其图象如下，

若方程f（x）=m有三个根，
则0＜m＜$\frac{1}{4}$，
且当x＞0时，方程可化为-x²+x-m=0，
易知，x₂+x₃=1，x₂x₃=m；
当x≤0时，方程可化为x²-x-m=0，
可解得x₁=$\frac{1-\sqrt{1+8m}}{4}$；
记y=x₁²+x₂²+x₃²=$\frac{1-2\sqrt{1+8m}+1+8m}{16}$+1-2m
=-$\frac{3}{2}$m-$\frac{1}{8}$$\sqrt{1+8m}$+$\frac{9}{8}$；
令t=$\sqrt{1+8m}$∈（1，$\sqrt{3}$），
则y=-$\frac{3}{16}$t²-$\frac{1}{8}$t+$\frac{21}{16}$，
解得，y∈（$\frac{6-\sqrt{3}}{8}$，1）．
故答案为：（$\frac{6-\sqrt{3}}{8}$，1）．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了换元法的应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，属于中档题．