Question

13．经研究：经过抛物线的焦点弦的两个端点的切线的交点一定在抛物线的准线上：现用实例证明这个结论，已知抛物线f（x）=$\frac{{x}^{2}}{8}$的焦点弦AB，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线交点N
（1）证明：点N的纵坐标是一个定值t；
（2）已知g（x）=8f（x）-（a-t）x+alnx，讨论g（x）的单调性
（3）若不等式g（x）=2f（x）+（2+t）x-alnx≥0（a＞0）恒成立，求证：$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}+\frac{ln{4}^{2}}{{4}^{2}}+…+\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}≤\frac{n-1}{e}$（其中e是自然对数的底数，n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切线方程，解方程可得N的坐标，再由焦点弦方程代入抛物线方程，即可得到定值t=-2；
（2）化简g（x），求出导数，并分解因式，对a讨论，当a≤0时，当0＜a＜2时，当a=2时，当a＞2时，通过导数解不等式即可得到单调区间；
（3）构造函数h（x）=$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$（x＞0），求出导数，判断单调性，可得最大值，再由累加法即可得证．

解答 （1）证明：抛物线方程y=$\frac{{x}^{2}}{8}$，求导得y′=$\frac{x}{4}$，
设切点A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），
∴k_NA=$\frac{{x}_{1}}{4}$，k_NB═$\frac{{x}_{2}}{4}$，
∴切线NA的方程为：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$=$\frac{{x}_{1}}{4}$（x-x1）即y=$\frac{{x}_{1}}{4}$x-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$，
切线NB的方程为：y=$\frac{{x}_{2}}{4}$x-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$，
联立直线NA，NB的方程，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}}\end{array}\right.$，
设焦点弦AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程可得，
x²-8kx-16=0，即有x₁x₂=-16，x₁+x₂=8k，
则有N（4k，-2），点N的纵坐标是一个定值t=-2；
（2）解：g（x）=8f（x）-（a-t）x+alnx=x²-（a+2）x+alnx，x＞0．
g′（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$，
当$\frac{a}{2}$=1，即a=2时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）递增；
当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，当x＞$\frac{a}{2}$或0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞）递增，
当1＜x＜$\frac{a}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）在（1，$\frac{a}{2}$）递减；
当a≤0时，易得g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
当0＜a＜2时，当x＞1或0＜x＜$\frac{a}{2}$时，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞）递增，
当$\frac{a}{2}$＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{a}{2}$，1）递减．
综上可得，当a≤0时，g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
当0＜a＜2时，g（x）的增区间为（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞），减区间为（$\frac{a}{2}$，1）．
当a=2时，g（x）的增区间为（0，+∞）；
当a＞2时，g（x）的增区间为（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞），g（x）的减区间为（1，$\frac{a}{2}$）．
（3）证明：令h（x）=$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$（x＞0），导数为h′（x）=$\frac{2（1-2lnx）}{{x}^{3}}$，
当0＜x＜$\sqrt{e}$时，h′（x）＞0，h（x）在（0，$\sqrt{e}$）递增，
当x＞$\sqrt{e}$时，h′（x）＜0，h（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）递减．
即有h（x）在（0，+∞）的最大值为h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，
即有h（x）$≤\frac{1}{e}$，
则$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{e}$+…+$\frac{1}{e}$=$\frac{n-1}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明方法，注意构造函数运用单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．