Question

2．设F为抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，点F到直线l：x+y+2=0的距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若Q为直线l上一动点，过点Q引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，试探究直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，运用点到直线的距离公式，解得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，结合韦达定理，可得切点弦AB的方程，再由直线恒过定点的求法，即可得到定点．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），
点F到直线l：x+y+2=0的距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，即有$\frac{|0+\frac{p}{2}+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得p=2，
抛物线C的方程为x²=4y；
（2）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），Q（x₀，-2-x₀），
∵y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
即有k_AQ=$\frac{{x}_{1}}{2}$，
∴AQ的方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），
∴x₁²-2x₁x+4y=0．
∵AQ过Q，∴x₁²-2x₁x₀-8-4x₀=0，
同理x₂²-2x₂x₀-8-4x₀=0，
∴x₁，x₂为方程x²-2x₀x-4x₀-8=0的两个根，
∴x₁x₂=-4x₀-8，x₁+x₂=2x₀，
又k_AB=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
∴AB的方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$（x-x₁），
∴y=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$x-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$，即有y=$\frac{{x}_{0}}{2}$x-（-x₀-2），
即为x₀（1+$\frac{x}{2}$）=y-2，
令y=2，可得x=-2，
所以直线AB过定点（-2，2）

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，联立直线方程运用韦达定理，同时考查点到直线的距离公式和切线方程的求法，注意直线恒过定点的求法，属于中档题和易错题．