Question

14．如图，已知四棱柱ABD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD=2AB=2AD，AD=1，AA₁=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：EA₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-D₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EA₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-BC₁-D₁的余弦值．

解答 证明：由已知DA，DD₁，DC两两垂直，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
则D（0，0，0），E（0，0，1），A₁（1，$\sqrt{2}$，0），B（1，0，1），C₁（0，$\sqrt{2}$，2），
D₁（0，$\sqrt{2}$，0），
（Ⅰ）$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），$\overrightarrow{DB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，2）
∵$\overrightarrow{E{A}_{1}}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{2}-1×2=0$，
∴$\overrightarrow{E{A}_{1}}$⊥$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，即EA₁⊥DC₁，
∵DB∩DC₁=D，∴EA₁⊥平面BDC₁，
（Ⅱ）设平面BD₁C₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（-1，\sqrt{2}，1）$，$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$=（0，0，2），
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=2z=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=-x+\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{2}$，则y=1，z=0，则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，1，0），
由（Ⅰ）知，EA₁⊥平面BDC₁，
∴$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（1，$\sqrt{2}$，-1）是平面BDC₁的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{E{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{E{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{E{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-0}{2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由图知二面角D-BC₁-D₁为锐角，
∴二面角D-BC₁-D₁的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，建立坐标系是解决本题的关键．