Question

4．已知圆心为C的圆经过A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）线段PQ的端点P的坐标是（5，0），端点Q在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由A和B的坐标，求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出线段AB垂直平分线的斜率，再由A和B的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段AB垂直平分线的方程，与直线l联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心C的坐标，再由C和A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的值，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可．
（2）设出Q和M的坐标，由中点坐标公式把Q的坐标用M的坐标表示，然后代入圆（x+3）²+（y+2）²=25即可得到答案．

解答 解：（1）∵A（1，1），B（2，-2），
∴k_AB=$\frac{1-（-2）}{1-2}$=-3，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为$\frac{1}{3}$，
又弦AB的中点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴弦AB的垂直平分线的方程为y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$），即x-3y-3=0，
与直线l：x-y+1=0联立，解得：x=-3，y=-2，
∴圆心C坐标为（-3，-2），
∴圆的半径r=|AC|=5，
则圆C的方程为（x+3）²+（y+2）²=25；
（2）设Q（x₁，y₁），线段PQ的中点M为（x，y）．
则x₁=2x-5，y₁=2y①．
∵端点Q在圆（x+3）²+（y+2）²=25上运动，
∴（x₁+3）²+（y₁+2）²=25．
把①代入得：（2x-5+3）²+（2y+2）²=25．
∴线段APQ的中点M的轨迹方程是${（{x-1}）^2}+{（{y+1}）^2}=\frac{25}{4}$．

点评 此题考查了圆的一般方程，考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了代入法，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，两直线的交点坐标，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，求出圆心坐标和半径是解本题的关键．