Question

18．某手机销售商对某市市民进行手机品牌认可度的调查，在已购买某品牌手机的500名市民中，随机抽样100名，按年龄进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下：

分组（岁）	频数	频率
[20，25）	5	0.05
[25，30）	20	0.2
[30，35）	①	0.35
[35，40）	30	0.3
[40，45）	10	②
合计	100	1.0

（1）频率分布表中①②应填什么数？补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；
（2）在抽出的这100市民中，按分层抽样抽取20人参加宣传活动，从20人中随机选取2人各赠送一部手机，设这两名市民中年龄低于30岁的人数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的①②位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄．
（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100-5-20-30-10=35，
②位置应填数字为：$\frac{30}{100}$=0.30．
补全频率分布直方图，如右图所示．
平均年龄估值为：$\frac{1}{2}$（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．
（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{2}{38}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{2}{38}$

EX=0×$\frac{21}{38}$+1×$\frac{15}{38}$+2×$\frac{2}{38}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．