Question

9．已知函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$（a为常数）
（1）证明：a=1是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件；
（2）如果存在x₀∈R，使得f（x₀）=1，求a的取值范围；
（3）若f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）从正反两方面证明．（2）由f（x₀）=1分离出a，利用不等式求解．（3）利用证明不等式单调性方法求解．

解答 解：（1）证明：当a=1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，$f（-x）=\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}=\frac{\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}}}{\frac{{1-2}^{x}}{{2}^{x}}}=-\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=-f（x）$，f（x）为奇函数．
若f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），$\frac{a{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}=-\frac{a{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$，解得a=±1，
∴a=1是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件．
（2）由$\frac{a{2}^{{x}_{0}}+1}{{2}^{{x}_{0}}-a}=1$，得${2}^{{x}_{0}}=\frac{-1-a}{a-1}＞0$，
∴-1＜a＜1．
（3）令0≤x₁＜x₂≤1，f（x_1）-f（x₂）=$\frac{a{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{1}}-a}-\frac{a{2}^{{x}_{2}}+1}{{2}^{{x}_{2}}-a}$=$\frac{（{a}^{2}+1）（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-a）（{2}^{{x}_{2}}-a）}$＞0
∵$1≤{2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}≤2$
∴a＞2，或a＜1

点评 熟练掌握函数的奇偶性和基本函数的单调性是解题的关键．