Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=（n+2）a_n-1（n∈N^*）．
（1）求a₁的值，并用a_n-1表示a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，求证：T_n＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先利用赋值法求出数列的首项，进一步建立数列a_n-1和a_n间的联系；
（2）利用叠乘法求出数列的通项公式．
（3）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结果．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=（n+2）a_n-1（n∈N^*）．
令n=1时，2S₁=3a₁-1，
解得：a₁=1
由于：2S_n=（n+2）a_n-1①
所以：2S_n+1=（n+3）a_n+1-1②
②-①得：2a_n+1=（n+3）a_n+1-（n+2）a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+2}{n+1}$，
则：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n}$，
即：${a}_{n}=\frac{n+1}{n}{a}_{n-1}$．
（2）由于：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n}$，
则：$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{2}$，
利用叠乘法把上面的（n-1）个式子相乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n+1}{2}$，
即：${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$
当n=1时，a₁=1符合上式，
所以数列的通项公式是：${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$．
（3）证明：由于：${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$，
所以：${a}_{n+2}=\frac{n+3}{2}$，
则：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}=\frac{4}{（n+1）（n+3）}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$），
所以：${T}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}+$…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$
=$2（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$）
=2（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$）$＜2（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查的知识要点：递推关系式的应用，利用叠乘法求出数列的通项公式，放缩法和裂项相消法的应用，主要考查学生的应用能力和运算能力．