Question

4．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：
①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若$\frac{cosA}{a}=\frac{cosB}{b}=\frac{cosC}{c}$，则△ABC为等边三角形；
③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；
⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．
其中正确的命题为①②④（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；
②已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；
③已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断；
④已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出C的度数，即可做出判断；
⑤由A，B，C为三角形内角，得到tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本选项错误．

解答 解：①∵A＞B＞C，
∴a＞b＞c，
又$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，2R为定值，
∴sinA＞sinB＞sinC，此选项正确；
②∵$\frac{cosA}{a}$=$\frac{cosB}{b}$=$\frac{cosC}{c}$，
由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，得$\frac{cosA}{sinA}$=$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
∴$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，即tanA=tanB=tanC，
∴A=B=C，
则△ABC是等边三角形，本选项正确；
③∵sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；
④∵（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
∴tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=1，即tan（A+B）=1，
∴A+B=$\frac{π}{4}$，即C=$\frac{3π}{4}$，
则△ABC为钝角三角形，本选项正确；
⑤若A、B、C有一个为直角时不成立，
若A、B、C都不为直角，
∵A+B=π-C，
∴tan（A+B）=tan（π-C），即$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-tanC，
则tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
即⑤错误，
故答案为：①②④

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．