Question

8．正项数列{a_n}中，a₁=4，a_n²=2（a_n+1）a_n-1-a_n（n≥2），则log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀₀=5150．

Answer 1

分析 由题意可判正项数列{a_n}为首项a₁=4，公比q=2的等比数列，由对数的运算和数列的求和公式化简可得．

解答 解：∵正项数列{a_n}中，a₁=4，a_n²=2（a_n+1）a_n-1-a_n，
∴a_n²+a_n=2（a_n+1）a_n-1，∴a_n（a_n+1）=2（a_n+1）a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴正项数列{a_n}为首项a₁=4，公比q=2的等比数列，
∴log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀₀=log₂（a₁•a₂•…•a₁₀₀）
=log₂（a₁¹⁰⁰q^1+2+3+…+99）=log₂（4¹⁰⁰${2}^{\frac{（1+99）99}{2}}$）
=log₂（2⁵¹⁵⁰）=5150
故答案为：5150

点评 本题考查数列的综合，涉及等比数列的判定和等差数列的求和公式以及对数的运算，属中档题．