Question

15．设函数f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|，x∈R
（1）求不等式f（-x）+f（x-1）＞5的解集；
（2）设g（x）=f²（x）+$\frac{55}{4}$，且|x-a|＜1，求证：|g（x）-g（a）|＜2（|a|+1）

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义，讨论x的取值，去掉绝对值，解不等式f（-x）+f（x-1）＞5即可；
（2）利用f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|，代入g（x）中，化简|g（x）-g（a）|，证明不等式成立．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|，x∈R；
∴不等式f（-x）+f（x-1）＞5可化为
|-x-$\frac{1}{2}$|+|x-1-$\frac{1}{2}$|＞5，
即|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|＞5；
当x≥$\frac{3}{2}$时，不等式化为（x+$\frac{1}{2}$）+（x-$\frac{3}{2}$）＞5，
解得x＞3；
当$\frac{3}{2}$＞x＞-$\frac{1}{2}$时，不等式化为（x+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{3}{2}$-x）＞5，
解得x∈∅；
当x≤-$\frac{1}{2}$时，不等式化为-（x+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{3}{2}$-x）＞5，
解得x＜-2；
综上，不等式的解集为{x|x＜-2或x＞3}；
（2）证明：∵f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|，
∴g（x）=f²（x）+$\frac{55}{4}$=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{55}{4}$，且|x-a|＜1，
∴|g（x）-g（a）|=|${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$-${（a-\frac{1}{2}）}^{2}$|
=|（x+a-1）（x-a）|＜|x+a-1|≤|x|+|a|+1≤（|a|+1）+|a|+1=2（|a|+1）．

点评 本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式的证明问题，是综合性题目．