Question

2．已知数{a_n}的前n项和S_n=n²-n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的第n项b_n=$\frac{1}{2}$a_n+1，n∈N^*，求T_n=$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1））由S_n=n²-n+1，n∈N^*．当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）当n≥2时，${b}_{n}=\frac{1}{2}×（2n-2）+1$=n．可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²-n+1，n∈N^*．当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-n+1-[（n-1）²-（n-1）+1]=2n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-2，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）当n≥2时，${b}_{n}=\frac{1}{2}×（2n-2）+1$=n．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．