Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x²+y²=$\frac{3}{4}$相切的直线L交椭圆于A，B两点，M为圆O上的动点，求△ABM面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程．

Answer 1

分析 （1）利用由条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．
（2）①当k不存在时，直接求解三角形的面积；
②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程．

解答 解析：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{2}{{3{b^2}}}=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\end{array}\right.$--------------（2分）
a²=3，b²=1，∴$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$------------（4分）
（2）①当k不存在时，$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{（{S_{△ABM}}）_{max}}=\frac{3}{2}$------（5分）
②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.，（1+3{k^2}）{x^2}+6km+3{m^2}-3=0$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}{，x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$----------（7分）
圆O：x²+y²=$\frac{3}{4}$与直线L相切，可得d=r，可得4m²=3（1+k²）---------（8分）$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}）}^2}-\frac{{12（{m^2}-1）}}{{1+3{k^2}}}}=\sqrt{3}•\sqrt{\frac{{1+10{k^2}+9{k^4}}}{{1+6{k^2}+9{k^4}}}}=\sqrt{3}•\sqrt{1+\frac{{4{k^2}}}{{1+6{k^2}+9{k^4}}}}$
=$\sqrt{3}•\sqrt{1+\frac{4}{\frac{1}{{k}^{2}}+9{k}^{2}+6}}$$≤\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{3}}=2$，当且仅当k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号-------（10分）
△ABM面积S_△ABM=$\frac{1}{2}$|AB|h=h，（h为M到AB的距离），
∵${h_{max}}=2r=\sqrt{3}$，∴${（{S}_{△ABM}）}_{max}=\sqrt{3}$，此时直线方程为$y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x±1$，
∵$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}$，∴${（{S_{△ABM}}）_{max}}=\sqrt{3}，y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x±1$------------（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．