Question

14．圆在x轴上的截距为a，b，在y轴上以截距为c（c≠0），求此圆的方程．

Answer 1

分析 设圆心为E（$\frac{a+b}{2}$，n），由圆的性质可知EA²=EB²=EC²，展开等式可得n=$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$． 将上式代入EA，EB的表达式，可得半径的平方为 EA²=EB²的值，从而求得圆的标准方程．

解答 解：由题意可得，圆心的横坐标为$\frac{a+b}{2}$，
设圆与坐标轴相交三点分别为A（a，0）、B（b，0）、C（0，c），设圆心为E（$\frac{a+b}{2}$，n），
 由圆的性质可知EA=EB=EC，则EA²=EB²=EC²，
则 ${（a-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+（0-n）²=${（b-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+（0-n）²=${（0-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+（c-n）²，
 展开等式可得n=$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$．
将上式代入EA，EB，EC表达式，可得 EA²=EB²=${（\frac{a-b}{2}）}^{2}$+$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$，
所以，此圆的方程为 ${（x-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{{c}^{2}+ab}{2c}）}^{2}$=${（\frac{a-b}{2}）}^{2}$+$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$．

点评 本题主要考查圆的一般方程和圆的标准方程，直线和圆相交的性质，属于中档题．