Question

13．在△AOB中，已知∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠BAO=$\frac{π}{6}$，AB=4，D为线段AB的中点，△AOC是由△AOB绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO-C的大小为θ．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（2）当θ=$\frac{2}{3}$π时，求二面角B-OD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，证明BH⊥平面COD，可得BH⊥CO，再由OC⊥AO，BH和OA相交，可得OC⊥平面AOB，从而证明OC⊥OB；
（2）在平面BOC中，过O作Ox⊥Oy，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，求出平面OCD的一个法向量，由图直接得到平面BOD的一个法向量，然后利用两平面法向量所成角的余弦值求得二面角B-OD-C的余弦值．

解答 解：（1）如图，

在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，
∵平面COD⊥平面AOB，平面COD∩平面AOB=OD，
又BH⊥OD，BH⊥平面AOB，
则BH⊥平面COD．
又由OC?平面COD，BH⊥CO，
又∵OC⊥AO，BH和OA相交，
∴OC⊥平面AOB．
又OB?平面AOB，从而OC⊥OB，即θ=$\frac{π}{2}$；
（2）在平面BOC中，过O作Ox⊥Oy，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，
则O（0，0，0），D（0，1，2），
∵θ=$\frac{2}{3}$π，求得：C（$\sqrt{3}$，-1，0），
设平面OCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+2z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，得y=3，z=-$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，3，-\frac{3}{2}）$．
又平面OBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（1，0，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}×1}=\frac{2\sqrt{171}}{57}$．
∴二面角B-OD-C的余弦值为-$\frac{2\sqrt{171}}{57}$．

点评 本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题．