Question

1．如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．
（Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D-CE-M的大小为$\frac{π}{6}$时，求出AE的长．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．利用正方形的性质可得AF=FM，利用三角形的中位线定理可得：EF∥BM．利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE．
（II）由DM⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），设平面MCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=3x+（b-6）y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=-6y+3z=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$．取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．根据二面角D-CE-M的大小为$\frac{π}{6}$时，可得$cos\frac{π}{6}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，解出b即可．

解答 （I）证明：如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．
∵四边形ADMN是正方形，∴AF=FM，
又AE=EB，∴EF∥BM．
∵BM?平面NDE，EF?平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
（II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC．
以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）．
$\overrightarrow{CE}$=（3，b-6，0），$\overrightarrow{CM}$=（0，-6，3）．
设平面MCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=3x+（b-6）y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=-6y+3z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，则z=2，x=$\frac{6-b}{3}$．
∴$\overrightarrow{n}$=$（\frac{6-b}{3}，1，2）$．
取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
∵二面角D-CE-M的大小为$\frac{π}{6}$时，∴$cos\frac{π}{6}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{（\frac{6-b}{3}）^{2}+1+4}×1}$，
解得b=$6-\sqrt{3}$（0≤b≤6）．
∴二面角D-CE-M的大小为$\frac{π}{6}$时，AE=$6-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、二面角的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．