Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB$\stackrel{∥}{=}$CD，AC、BD交于点O，AB⊥平面PAC，且2PA=2PC=2CD=AD，PE=ED．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）求锐二面角E-BC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过AB∥CD且AB=CD可得AO=OC，结合PA=PC可得PO⊥AC，利用AB⊥平面PAC及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则所求值即为平面EBC的法向量与平面BCP的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （1）证明：∵AB∥CD且AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，
又∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵AB⊥平面PAC，∴AB⊥PO，
∴PO⊥平面ABCD，
∴平面PAC⊥平面ABCD；
（2）解：以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz如图，
设PA=a，则PC=CD=a，AD=2a，
则AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$a，
∴A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，$\sqrt{3}$a，0），
D（-a，$\sqrt{3}$a，0），P（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），E（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a，$\frac{1}{4}$a），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-a，$\sqrt{3}$a，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{2}$a，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a，$\frac{1}{4}$a），$\overrightarrow{BP}$=（-a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），
设平面EBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\sqrt{3}ay=0}\\{-\frac{3}{2}ax+\frac{3\sqrt{3}}{4}ay+\frac{1}{4}az=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，3$\sqrt{3}$），
设平面BCP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\sqrt{3}ay=0}\\{-ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay+\frac{1}{2}az=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+1+9}{\sqrt{3+1+27}•\sqrt{3+1+3}}$=$\frac{13\sqrt{217}}{217}$，
∴所求锐二面角E-BC-P的余弦值为$\frac{13\sqrt{217}}{217}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，面面垂直的判定，二面角，数量积运算，勾股定理，注意解题方法的积累，属于中档题．