Question

7．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．
（Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）连接DE，
由于四边形DECA是圆的内接四边形，
所以：∠BDE=∠BCA
∠B是公共角，
则：△BDE∽△BCA．
则：$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
又：AB=2AC
所以：BE=2DE，
CD是∠ACB的平分线，
所以：AD=DE，
则：BE=2AD．
（Ⅱ）由于AC=1，
所以：AB=2AC=2．
利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，
由于：BE=2AD，设AD=t，
则：2（2-t）=（2+2t）•2t
解得：t=$\frac{1}{2}$，
即AD的长为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：三角形相似的判定的应用，圆周角的性质的应用，割线定理得应用，主要考查学生的应用能力．