Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥面BDC₁；
（2）若二面角A-B₁D-A₁大小为45°，求直线AC₁与平面AB₁D所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结B₁C，交BC₁于点E，利用中位线定理及线面平行的判定定理即可；
（2）以C为原点，以CC₁、CA、CB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用二面角A-B₁D-A₁大小为45°，可得确定平面AB₁D的法向量与平面A₁B₁D的法向量，进而可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$与平面AB₁D的法向量的夹角，利用互余的关系即得结论．

解答 （1）证明：连结B₁C，交BC₁于点E，
由题意可得E为B₁C的中点，
又∵D为AC的中点，
∴ED∥AB₁，
∵ED?平面BDC₁，AB₁?平面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁；
（2）解：∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
以C为原点，以CC₁、CA、CB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
∵BC=AC=2，∴C（0，0，0），A（0，2，0），B（0，0，2），D（0，1，0），
设C₁（t，0，0），则A₁（t，2，0），B₁（t，0，2），
则$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-t，1，-2），$\overrightarrow{DA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，-2，2），
设平面AB₁D的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面A₁B₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-t{x}_{1}+{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取x₁=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，-t），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-t{x}_{2}+{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{-2{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取x₂=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-t，-t），
∵二面角A-B₁D-A₁大小为45°，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{{2+t}^{2}}{\sqrt{4+{t}^{2}}•\sqrt{1+2{t}^{2}}}$=cos45°，
解得t=2或-2（舍），
∴C₁（2，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（2，-2，0），平面AB₁D的法向量为$\overrightarrow{m}$=（2，0，-2），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{A{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4+4}•\sqrt{4+4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$与$\overrightarrow{m}$的夹角是$\frac{π}{3}$，
∴所求直线AC₁与平面AB₁D所成角的大小为$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，二面角的计算，线面角的计算，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．