Question

10．已知四面体A-BCD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A-BCD的体积的取值集合是（　　）

• A． $\{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{12}\}$
• B． $\{\frac{1}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{12}\}$
• C． $\{\frac{{\sqrt{2}}}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{12}，\frac{{\sqrt{2}}}{24}\}$
• D． $\{\frac{1}{6}，\frac{{\sqrt{2}}}{12}，\frac{{\sqrt{2}}}{24}\}$

Answer 1

分析 由题意，分类讨论，（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC；（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC；△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，求出体积即可．

解答 解：由题意，分类讨论可得
（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC，所以四面体A-BCD的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$；
（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，所以四面体A-BCD的体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$；
（3）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，取AD的中点O，可得BO=DO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以四面体A-BCD的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥体积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．