Question

18．已知两个半径不相等的圆O₁与圆O₂相加交于M、N，且圆O₁、圆O₂分别与圆O内切与S，求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线．

Answer 1

分析 设圆O₁、圆O₂、圆O的半径分别为r₁、r₂、r，由条件可得O，O₁，S三点共线，O，O₂，T三点共线，且OS=OT=r，连接OS，OT，SN，NT，O₁N，O₂M，O₂N，O₁O₂，分充分性与必要性即可证明．

解答 证明：如图，设圆O₁、圆O₂、圆O的半径分别为r₁、r₂、r，
由条件可得O，O₁，S三点共线，O，O₂，T三点共线，且OS=OT=r，连接OS，OT，SN，NT，O₁N，O₂M，O₂N，O₁O₂，
充分性：设S、N、T三点共线，则∠S=∠T，
∵△OSN与△ONT均为等腰三角形，
∴∠S=∠O₁NS，∠T=∠O₂NT，
∴∠S=∠O₂NT，∠T=∠O₁NS，
∴O₂N∥OS，O₁N∥OT，
∴四边形OO₁NO₂为平行四边形，
∴OO₁=O₂N=r₂=MO₂，OO₂=O₁N=r₁=MO₁，
∴△O₁MO≌△O₂OM，
∴${S}_{△{O}_{1}MO}$=${S}_{△{O}_{2}OM}$，
∴O₁O₂∥OM，
∵O₁O₂⊥MN，
∴OM⊥MN；
必要性：若OM⊥MN，则O₁O₂⊥MN，∴O₁O₂∥OM，
∴${S}_{△{O}_{1}MO}$=${S}_{△{O}_{2}OM}$，
设OM=a，由于O₁M=r₁，O₁O=r-r₁，O₂O=r-r₂，O₂M=r₂，可得△O₁MO与△O₂OM的周长都等于a+r，
记p=$\frac{a+r}{2}$，由三角形面积的海伦公式有$\sqrt{p（p-{r}_{1}）（p-r+{r}_{1}）（p-a）}$=$\sqrt{p（p-{r}_{2}）（p-r+{r}_{2}）（p-a）}$，
∴（r₁-r₂）（r-r₁-r₂）=0，
∴r₁+r₂=r，
∴O₁O=r-r₁=r₂=O₂N，O₂O=r-r₂=r₁=O₁N，
∴四边形OO₁NO₂为平行四边形，
∴O₂N∥OS，O₁N∥OT，
∴∠S=∠O₂NT，∠T=∠O₁NS，
∴∠S=∠T，∴S、N、T三点共线．

点评 本题考查充要条件的证明，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强，难度大．