Question

17．如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B，F分别为DE，BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁F；
（Ⅱ）设二面角A₁-BC-A的大小为α，直线AC与平面A₁BC所成的角为β，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （I）连结AB₁交A₁B于点G，利用中位线定理及线面垂直的判定定理即可；
（II）通过题意易知A₁B⊥BC、AB⊥BC，即∠A₁BA为二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，利用构造三角形、解三角形，或者建立空间坐标系、利用空间向量求解可得β的三角函数值，再利用两角和的正弦公式即可得到答案．

解答 （Ⅰ）证明：连结AB₁交A₁B于点G，则G为AB₁中点，
又∵F为BC中点，∴GF∥A₁C，
∵GF?平面AB₁F，A₁C?平面AB₁F，
∴A₁C∥平面AB₁F；
（Ⅱ）解：∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE中点，
∴AB=2，BC=$\sqrt{3}$，AB²+BC²=16=AC²，
∴AB⊥BC，
由AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∴BC⊥平面A₁B，
∴A₁B⊥BC，
∴∠A₁BA为二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，
在Rt△A₁AB中，sinα=sin∠A₁BA=$\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}B}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
cosα=$\frac{AB}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz如图，
则A₁（0，0，4），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，4，0），
$\overrightarrow{AC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（$\sqrt{3}$，1，-4），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面A₁BC的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y-4z=0}\\{-\sqrt{3}x+3y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
则sinβ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又$0＜β＜\frac{π}{2}$，∴cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$
=1，
即sin（α+β）=1．

点评 本题考查线面平行的判定，线线垂直的判定，二面角，数量积运算，勾股定理，两角和公式，注意解题方法的积累，属于中档题．