Question

3．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA=AD=2，AB=1．
（1）求证：PD∥平面ACM；
（2）求点A到平面MBC的距离．

Answer 1

分析 （1）连结BD，设BD与AC交于点O，连结OM，利用中位线定理及线面平行的判定定理即可；
（2）通过线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，设点A到平面MBC的距离为h，利用V_A-MBC=V_M-ABC，计算即可．

解答 （1）证明：连结BD，设BD与AC交于点O，连结OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O为BD的中点，
∵M为PB的中点，∴OM为△PBD的中位线，
∴OM∥PD，∵OM?平面ACM，PD?平面ACM，
∴PD∥平面ACM；
（2）解：∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，
∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD，
取AB的中点F，连结MF，则MF∥PA，
∴MF⊥平面ABCD，且MF=$\frac{1}{2}$PA=1，
设点A到平面MBC的距离为h，
由V_A-MBC=V_M-ABC，得$\frac{1}{3}{S}_{△MBC}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•MF$，
∴h=$\frac{{S}_{△ABC}•MF}{{S}_{△MBC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•AB•MF}{\frac{1}{2}•BC•MB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，点到面的距离，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．