Question

11．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁，有下述结论
（1）AC₁⊥BC；   
（2）$\frac{AD}{D{C}_{1}}$=1；
（3）面FAC₁⊥面ACC₁A₁；
（4）三棱锥D-ACF的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）连接AB₁，则∠B₁C₁A即为BC和AC₁所成的角，由余弦定理，即可判断；
（2）连接AF，C₁F，由正三棱柱的定义，即可判断；
（3）连接CD，则CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，则∠CDF为二面角F-AC₁-C的平面角，通过解三角形CDF，即可判断；
（4）由于AD⊥平面CDF，通过V_D-ACF=V_A-DCF即可求出体积．

解答 解：（1）连接AB₁，则∠B₁C₁A即为BC和AC₁所成的角，在三角形AB₁C₁中，B₁C₁=2，AB₁=2$\sqrt{2}$，
AC₁=2$\sqrt{2}$，cos∠B₁C₁A=$\frac{8+4-8}{2×2\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故（1）错；
（2）连接AF，C₁F，则易得AF=FC₁=$\sqrt{5}$，
又FD⊥AC₁，则AD=DC₁，故（2）正确；
（3）连接CD，则CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，
则∠CDF为二面角F-AC₁-C的平面角，CD=$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{5}$，DF=$\sqrt{3}$，
即CD²+DF²=CF²，故二面角F-AC₁-C的大小为90°，面FAC₁⊥面ACC₁A₁，故（3）正确；
（4）由于CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，则AD⊥平面CDF，
则V_D-ACF=V_A-DCF=$\frac{1}{3}$•AD•S_△DCF=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．故（4）正确．
故选：C．

点评 本题考查正三棱柱的定义和性质，考查线面垂直的判定和性质，空间的二面角，以及棱锥的体积，注意运用转换法，属于中档题．