Question

19．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点 A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（　　）
①三棱锥P-AA₁Q的体积为定值；
②当CQ=$\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形；
③当$\frac{3}{4}$＜CQ＜1时，S为六边形； 
④当CQ=1时，S的面积为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

• A． ①④
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①通过计算点P到平面AA₁Q的距离，利用体积公式计算即可；
②通过条件可得PQ∥AD₁，从而得出结论；
③当$\frac{3}{4}＜CQ＜1$时，S为五边形，故③错误；
④通过条件可知S为平行四边形APC₁R，利用面积计算公式即得结论．

解答 解：①点P到平面AA₁Q的距离$h=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴${V_{P-A{A_1}Q}}=\frac{1}{3}•{S_{△A{A_1}Q}}•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\frac{1}{12}$，故①正确．
②当$CQ=\frac{1}{2}$时，PQ∥AD₁，S为等腰梯形APQD₁，故②正确．
③当$\frac{3}{4}＜CQ＜1$时，S为五边形，故③错误．
④设A₁D₁的中点为R，当CQ=1时，S为平行四边形APC₁R，
易得S的面积为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，故④正确．
故选：D．

点评 本题考查点到直线的距离公式，棱锥的体积公式，面积公式，注意解题方法的积累，属于中档题．