Question

4．化下列二次积分为极坐标形式：${∫}_{0}^{1}$dx${∫}_{0}^{1}$f（x，y）dy．

Answer 1

分析 根据二重积分为极坐标下的二重积分公式计算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{1}$dx${∫}_{0}^{1}$f（x，y）dy=∫∫f（x，y） dxdy 积分区域为矩形：0≤x≤1，0≤y≤1
作y=x将矩形分为两部分分别来做，
x=1对应的极坐标方程为：rcosθ=1，即r=$\frac{1}{cosθ}$，
y=1对应的极坐标方程为：rsinθ=1，即r=$\frac{1}{sinθ}$，
原式=∫∫f（rcosθ，rsinθ）rdrdθ=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$dθ${∫}_{0}^{\frac{1}{cosθ}}$ f（rcosθ，rsinθ）rdr
+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$dθ${∫}_{0}^{\frac{1}{sinθ}}$ f（rcosθ，rsinθ）rdr．

点评 本题考查了二重积分的极坐标的计算，属于基础题．