Question

16．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求点D到平面BEC的距离．

Answer 1

分析 （1）取EC中点N，连结MN，BN．由三角形中位线的性质证得MN∥AB，且MN=AB．由此可得四边形ABNM为平行四边形．得到BN∥AM．再由线面平行的判定得答案；
（2）由V_E-BCD=V_D-BCE，利用等积法求得点D到平面BEC的距离．

解答 解：（1）证明：取EC中点N，连结MN，BN． 在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD． 由已知AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
∴MN∥AB，且MN=AB．
∴四边形ABNM为平行四边形．
BN∥AM．
又∵BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
∴AM∥平面BEC．
（2）由已知可得BC⊥平面BDE，
∵BE?平面BDE，∴BC⊥BE，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BD•BC=\frac{1}{2}\sqrt{2}•\sqrt{2}=1$．
${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}BE•BC=\frac{1}{2}\sqrt{2}•\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又V_E-BCD=V_D-BCE，设点D到平面BEC的距离为h．
则$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•DE=\frac{1}{3}•{S}_{△BCE}•h$，
∴$h=\frac{{S}_{△BCD}•DE}{{S}_{△BCE}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．