Question

10．在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	25	0.050
第2组	[165，170）	175	0.350
第3组	[170，175）	150
第4组	[175，180）		0.200
第5组	[180，185）	50	0.100
合计		500	1000

（1）为了能选拔出最优秀的公务员，政府在笔试成绩的第3、4、5组中用分层抽样抽取12名考生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮选拔？
（2）在（1）的前提下，政府的3个下属机关决定先后用相同的方式在12名考生中随机抽取2名考生接受考官的面试，记抽取到第5组的A考生面试的下属机关的个数为x，求的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）结合图标求出成绩在[175，180）内的人数，然后利用分层抽样求得第3、4、5组抽取的人数；
（2）首先求出从12名考生中，随机抽取2人，抽取到第5组的考生A面试的概率，再利用独立重复试验求得x取0，1，2，3时的概率，列出频率分布表，代入期望公式求期望．

解答 解：（1）由频率分布表可知，乘积在[175，180）内的人数为100人，
则第3、4、5组的总人数为150+100+50=300人，抽取12人，所占比例为$\frac{1}{25}$．
则第3、4、5组抽取的人数分别为$150×\frac{1}{25}=6$、$100×\frac{1}{25}=4$、$50×\frac{1}{25}=2$人；
（2）从12名考生中，随机抽取2人，抽取到第5组的考生A面试的概率为P=$\frac{{C}_{1}^{1}•{C}_{11}^{1}}{{C}_{12}^{2}}=\frac{1}{6}$．
3个机关先后用同样的方式来抽取，可看成3次独立重复试验，
故x～（3，$\frac{1}{6}$），
x的所有可能取值为0，1，2，3．
P（x=0）=${C}_{3}^{0}•（\frac{5}{6}）^{3}=\frac{125}{216}$，P（x=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•（\frac{5}{6}）^{2}=\frac{75}{216}$，P（x=2）=${C}_{3}^{2}•（\frac{1}{6}）^{2}•\frac{5}{6}=\frac{15}{216}$，P（x=3）=${C}_{3}^{3}•（\frac{1}{6}）^{3}=\frac{1}{216}$．
其分布列如图：

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{1}{216}$

Ex=$0×\frac{125}{216}+1×\frac{75}{216}+2×\frac{15}{216}+3×\frac{1}{216}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，考查了独立重复试验，是中档题．