Question

14．已知点P到点F（$\frac{1}{4}$，0）的距离比它到直线m：4x+9=0的距离小2，记动点P的轨迹为M，坐标原点为O
（Ⅰ）求轨迹M的方程；
（Ⅱ）是否存在过点Q（1，0）的直线l，使|OQ|是l与曲线M的两个交点A、B到原点的距离|OA|、|OB|的等比中项？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，即可求轨迹M的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用等比中项的定义，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）因为点P到点F（$\frac{1}{4}$，0）的距离比它到直线m：4x+9=0的距离小2，
所以点P到点F（$\frac{1}{4}$，0）的距离等于它到直线m：4x+1=0的距离，
所以动点P的轨迹为以F（$\frac{1}{4}$，0）为焦点的抛物线，
所以抛物线的方程为y²=x；
（Ⅱ）斜率不存在时，A（1，1），B（1，-1），则|OA||OB|=2，又|OQ|=1，故不满足条件；
斜率存在时，设方程为y=k（x-1），代入y²=x可得k²x²-（2k²+1）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2+$\frac{1}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，所以y₁y₂=-1
所以|OA||OB|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
因为|OQ|²=|OA||OB|，
所以$\sqrt{4+\frac{1}{{k}^{2}}}$=1，方程无解．
故不存在过点Q（1，0）的直线l，使|OQ|是l与曲线M的两个交点A、B到原点的距离|OA|、|OB|的等比中项．

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查等比中项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．