Question

6．已知函数f（x）=x³-3ax²+3（2-a）x，a∈R，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而确定出函数的递增区间．

解答 解：∵函数f（x）=x³-3ax²+3（2-a）x，
∴f′（x）=3x²-6ax+3（2-a）=3[x²-2ax+（2-a）]，
令f′（x）=0，解得：x=a±$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$，
∴f（x）在（-∞，a-$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$）和（a+$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$，+∞）单调递增，
综上，-2≤a≤1时，f（x）在R上递增，
a＞1或a＜-2时，f（x）在（-∞，a-$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$）和（a+$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$，+∞）单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．