Question

2．已知函数f（x）=αsinx+cosx的图象关于x=$\frac{π}{8}$成轴对称图形，则实数α=$\frac{1}{tan\frac{3π}{8}}$．

Answer 1

分析 化简函数f（x）=asinx+cosx，为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，就是x=$\frac{π}{8}$时函数取得最值，求出a即可．

解答 解：函数f（x）=asinx+cosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{1}{a}$，θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
其图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，所以θ+$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{2}$，所以tan$\frac{3π}{8}$=$\frac{1}{a}$，解得：a=$\frac{1}{tan\frac{3π}{8}}$．
故答案为：$\frac{1}{tan\frac{3π}{8}}$．

点评 本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．