Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA₁=5，点M是BB₁中点
（Ⅰ）求证：平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C
（Ⅱ）求点A到平面A₁MC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结ME，利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，结合已知，只要判断ME⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的判定定理证明；
（Ⅱ）过点A作AH⊥A₁C于点H，由（Ⅰ）知AH⊥平面AA₁C₁C，得到AH即为点A到平面A₁MC的距离，利用直角三角形A₁AC，可求

解答 （Ⅰ）证明：记AC₁与A₁C的交点为E．连结ME．
如图
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，点M是BB₁中点，
∴MA₁=MA=MC₁=MC=$\frac{\sqrt{89}}{2}$．
因为点E是AC₁，A₁C的中点，
所以ME⊥AC₁且ME⊥A₁C，…（4分）
从而ME⊥平面AA₁C₁C．
因为ME?平面A₁MC，所以平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C．…（6分）
（Ⅱ）解：过点A作AH⊥A₁C于点H，
如图，

由（Ⅰ）知平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C，平面A₁MC∩平面AA₁C₁C=A₁C，
而AH⊥平面AA₁C₁C
∴AH即为点A到平面A₁MC的距离．…（9分）
在△A₁AC中，∠A₁AC=90°，
A₁A=5，AC=4∴${A}_{1}C=\sqrt{41}$
∴AH=$\frac{5×4}{\sqrt{41}}=\frac{20\sqrt{41}}{41}$
即点A到平面A₁MC的距离为$\frac{20\sqrt{41}}{41}$． …（12分）

点评 本题考查面面垂直的判定定理和性质定理的运用，体现了转化的思想．属于中档题．