Question

4．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：
（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；
（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；
（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率．
（Ⅱ）同学甲被选中的概率为$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=0.3，由此能求出同学甲被选中且通过测试的概率．
（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为1-$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{6}$…（4分）
（Ⅱ）同学甲被选中的概率为$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=0.3，
则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 …（8分）
（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$
所以，ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=1.8  …（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．