Question

15．若函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在（-∞，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，且f（x₁）=x₁，则关于x的方程[f（x）]²+（b+2）f（x）+b+c=0的不同实根个数是（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 求导f′（x）=（x²+（b+2）x+b+c）e^x，从而可得方程x²+（b+2）x+b+c=0的两根为x₁，x₂；从而化方程为f（x）=x₁或f（x）=x₂，再结合f（x₁）=x₁及函数f（x）的单调性可得共有3个不同的根．

解答 解：∵f（x）=（x²+bx+c）e^x，
∴f′（x）=（x²+（b+2）x+b+c）e^x，
又∵函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在（-∞，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，
∴方程x²+（b+2）x+b+c=0的两根为x₁，x₂；
∴方程[f（x）]²+（b+2）f（x）+b+c=0可化为f（x）=x₁或f（x）=x₂；
又∵f（x₁）=x₁，
∴f（x）=x₁有两个不同的解，f（x）=x₂有1个解；
且三个解不相同；
故共有3个解；
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及方程的根的转化，属于中档题．