Question

7．已知sinα+sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（cosβ-cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α-β等于（　　）

• A． -$\frac{2π}{3}$
• B． -$\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 已知等式两边利用和差化积公式变形，整理后根据sin$\frac{α+β}{2}$不为0，求出tan$\frac{α-β}{2}$的值，即可确定出α-β的度数．

解答 解：已知等式变形得：2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{β-α}{2}$sin$\frac{β+α}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{α-β}{2}$sin$\frac{α+β}{2}$，
∵sin$\frac{α+β}{2}$≠0，
∴2cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{α-β}{2}$，即tan$\frac{α-β}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{α-β}{2}$=$\frac{π}{3}$，
则α-β=$\frac{2π}{3}$，
故选：D．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．