Question

5．如图，PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交OP于点D，证明：
（Ⅰ）PA=PD；
（Ⅱ）PA•AC=AD•OC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，由已知条件推导出∠BAP=∠ADP，即可证明PA=PD．
（Ⅱ）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA•AC=AD•OC．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，
∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，
∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，
∴∠C=∠ODB，
∵直线PA为圆O的切线，切点为A，
∴∠C=∠BAP，
∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，
∴PA=PD．
（Ⅱ）连结OA，由（Ⅰ）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，
∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，
∴$\frac{PC}{OC}=\frac{AD}{AC}$，
∴PA•AC=AD•OC．

点评 本题考查线段相等的证明，考查线段乘积相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．