Question

15．已知A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，其中a＞0，b＞0，则ab的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 由题意利用向量可推出2a+b=1，再由基本不等式求最大值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=（{-b-1，2}），\overrightarrow{AB}=（{a-1，1}）$共线，
∴2a+b=1，
∴$2a+b≥2\sqrt{2ab}$，
（当且仅当2a=b，即a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$时，等号成立）；
∴$2\sqrt{2ab}≤1$，
∴$ab≤\frac{1}{8}$；
故ab的最大值是$\frac{1}{8}$；
故选D．

点评 本题考查了平面向量与基本不等式的应用，属于基础题．